Насколько эффективна математика в описании мира
Математику называют «царицей всех наук». Языком Вселенной. Ученые и инженеры часто говорят об элегантности математики, когда описывают физическую реальность, приводя в примеры π, E=mc2 и даже абстрактные числа для счета реальных объектов. Тем не менее, хотя эти примеры показывают, насколько полезна математика нам, означает ли это, что физический мир следует правилам математики, словно это его родной язык? И что математика существует сама по себе, просто ожидая, пока мы совершим одно из отдельных ее открытий? Эта точка зрения относительно характера отношений между математикой и физическим миром называется «платонизм», но далеко не все ее разделяют.
Дерек Эббот, профессор электротехники и электроники в Университете Аделаиды в Австралии, написал интересный труд, в котором утверждает, что математический платонизм — это искаженный взгляд на реальность. Взамен этому, он говорит о совершенно противоположной точке зрения в пользу не-платоников: математика — продукт человеческого воображения, который мы подгоняем под описание реальности.
Этот аргумент далеко не нов. По оценке Эббота (по его собственному опыту), хотя 80 % математиков придерживаются платонических взглядов, инженеры в большинстве своем не-платоники. Физики, по мнению профессора, являются «латентными не-платониками», то есть они часто являются платониками на публике. Но если прижать физика к стенке, он признается, что не верит в платонизм.
Так если математики, инженеры и физики могут спокойно работать вне зависимости от того, какой точки зрения придерживаются в этом философском вопросе, почему истинная природа математики относительно физического мира так важна?
Эббот говорит, что причина в том, что когда вы осознаете, что математика это всего лишь ментальный конструкт — просто приближение к действительности, имеющее свои слабости и недостатки и ломающееся в какой-то момент, потому что идеальные математические формы не существуют в физической вселенной, — вы поймете, насколько математика неэффективна.
Зерно размышлений Эббота (и самый спорный момент) вот в чем: математика не является исключительно пригодной в описании реальности и уж точно не «чудо», которым восхищаются отдельные ученые. Эйнштейн, математический не-платоник, был одним из ученых, который поразился силе математики. Он спросил: «Как же может быть так, что математика, будучи в конце концов продуктом человеческой мысли, которая не зависит от опыта, так превосходно описывает реальные объекты?».
В 1959 году физик и математик Юджин Вигнер описал эту проблему как «необоснованная эффективность математики». Работа Эббота называется «обоснованная неэффективность математики». Обе точки зрения базируются на не-платонической идее, что математика — это изобретение человечества. Но если Вигнера и Эйнштейна можно назвать математическими оптимистами, которые признавали, что математические пути описания реальности эффективны, Эббот пессимистично отмечает, что эти математические модели практически всегда рушатся спустя недолгое время.
Как же вообще выглядит «эффективная математика»? Эббот объясняет, что эффективная математика предоставляет компактное и идеализированное представление неизбежно шумного физического мира.
«Аналитические математические выражения — это один из способов сделать компактные описания нашим наблюдениям», — рассказал ученый. — «Как люди, мы ищем подобные «сжатия», которые предоставляет нам математика, потому что нам не хватает силы ума. Математика эффективна, когда она обеспечивает простое компактное выражение, которое мы можем регулярно применять во многих ситуациях. Она неэффективна, когда не может предоставить эту элегантную компактность. Именно компактность делает ее полезной и практичной, если только мы можем добиться этой компактности без необходимости серьезно жертвовать точностью».
Эббот утверждает, что существует больше ситуаций, в которых математика неэффективна (некомпактна), нежели эффективна (компактна). Математика только создает иллюзию эффективности, когда мы сосредотачиваем внимание на успешных примерах. Но наши успешные примеры составляют лишь малую толику возможных вопросов, на которые мы ищем ответы в этой вселенной».
Некоторые из аргументов Эббота базируются на идеях математика Ричарда У. Хэмминга, который в 1980 году определил четыре причины, почему математика является не настолько эффективной, насколько кажется. Но если Хэмминг смирился с мыслью о том, что математика неоправданно эффективна, Эббот показывает, что причины Хэмминга фактически подтверждают не-платонизм, значительно снижая уровень эффективности математики.
Вот несколько причин Эббота, согласно которым математика обоснованно неэффективна; в большинстве своем они стоят на точке зрения не-платоников: математика — это исключительно человеческое изобретение, плод коллективного разума разумных существ с планеты Земля.
1. Математика успешна, поскольку мы выбираем задачи, к которым можем применить математический подход. Вероятнее всего, были миллионы неудачных математических моделей, но никто не обратил на них внимания. «Гений», — пишет Эббот, — «это просто тот, у кого есть великая идея, а также здравый смысл, чтобы умолчать о тысяче других безумных идей».
2. Наше применение математики меняется на разных масштабах. К примеру, в 1970-х, когда длина транзистора была порядка микрометра, инженеры могли описать поведение транзисторов, используя элегантные уравнения. Сегодня субмикронные транзисторы включают сложные эффекты, которыми пренебрегали ранее, поэтому инженеры обратились к компьютерному построению модели миниатюрного транзистора. Эффективная формула должна бы описывать транзисторы на всех уровнях, но такой компактной формулы не существует.
3. Несмотря на то, что наши модели можно применять в любых временных рамках, мы, вероятнее всего, создаем описания, которые опираются на длину человеческой жизни. К примеру, мы видим в Солнце источник энергии для нашей планеты, но если бы жизнь человека была равна жизни вселенной, Солнце скорее всего было бы недолго живущей флуктуацией, которая быстренько спалила бы нашу планету и «бахнула» в красный гигант. С этой точки зрения Земля не может получить полезную энергию от Солнца.
4. Даже у счета есть пределы. При подсчете бананов, например, в какой-то момент их количество станет таким большим, что гравитационное притяжение бананов засосет их в черную дыру. В определенный момент мы не можем больше полагаться на счет в цифрах.
5. Что делать с концепцией целых чисел? Где заканчивается один банан и начинается другой? Хотя мы думаем, что знаем визуально, у нас нет формального математического определения. Чтобы довести это до логического предела, если бы люди были не твердыми, а газообразными и жили в облаках, подсчет дискретных объектов был бы не таким простым. Таким образом, аксиомы, основанные на понятии простого счета, являются не родным для нашей вселенной, а просто человеческими конструктами. И нет никакой гарантии, что математическое описание, которое мы создадим, будет универсально.
Для Эббота эти пункты и многое другое очевидно: математика — не чудесное открытие, которое соответствует действительности с непонятной регулярностью. Математика является человеческим изобретением, полезным, ограниченным и работающим, как ему и положено. Что ж, математика — не единственное человеческое изобретение, в котором без философии не обойтись.
